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楊睿之:追求生活的樂趣,探索邏輯的邊界

時間:2021-03-29


睿之,北京大學哲學博士,復旦大學哲學學院副教授。主要研究領域為數理邏輯、數學哲學。代表作有《作為哲學的數理邏輯》、“集合論多宇宙觀述評”等。開設課程包括數理邏輯、集合論、遞歸論、證明論。

一、求學之路

1.在您的學生生涯中,是如何一步步確定走學術之路的?

我的經歷可能跟很多人類似,在邏輯學道路上有一個“做得不錯、接受鼓勵、更喜歡做”的正反饋的過程。我高中學習理科,高考時主課外單考一個物理。那時候上??忌梢詧?個志愿,印象中我的第一志愿是生物,因為那時候世紀初傳言“下個世紀是生物的世紀”,我個人也是特別喜歡生物。然后接下來是數學、物理、計算機、力學,最后才是哲學。

 我最后被哲學系錄取,因為前面的專業都沒錄上。然而我對生物仍有執念,第一年選修了普通動物學和普通植物學,并且取得了不錯的分數。但可能是因為懶惰,以及轉到當時熱門的生物專業確實困難,后來我沒有轉專業。我在哲學系一路讀到了大四,當時面臨要繼續讀研還是要工作的問題。其實我去過政府部門實習,也去過銀行實習,當然也參加了保研的面試,保研時還面臨專業的選擇。當時我很喜歡的一門專業是倫理學。因為我覺得無論什么哲學思考,最終都要落實到我當下應該怎么做、怎么生活的問題。當然,邏輯學我也喜歡。一是因為感覺邏輯學更踏實。對就是對,錯就是錯。二是因為我學得好。當時同班的同學都說邏輯學很難,我卻學得很輕松,成績也好,受到了正面的反饋,也就更愿意投入精力。我最終報了邏輯學,郝兆寬老師是我碩士研究生導師。我想同學們也知道郝老師是一位非常有魅力的老師,我無論在學術趣味和生活方式上都深受他的感召,逐步堅定了走學術的道路,并且確定了具體的學術興趣。后來去北大跟隨郝老師在北大的導師劉壯虎老師,也是水到渠成。無論在復旦還是北大,我覺得在邏輯學習過程中比較順利,可能邏輯學確實比較適合我。在我后來看來,很多所謂的興趣的形成,就是你做這件事情做好了,別人因此表揚你了,你覺得你獲得了一些成就感,有下次就更愿意做這件事情。你會投入更多的精力,然后做的更好,又受到了正向的反饋。這是一個很自然的過程。

 要總結一下的話,我想很多東西沒有必要強求。在學生階段的時候可以去試各種東西,你會發現有些東西你能做的比較好,然后你能獲得鼓勵,你會得到成就感,會開心的去做下去,多嘗試就好了。

 2.您曾前往美國哈佛大學、紐約城市大學,以及新加坡國立大學訪學,可以談談您印象深刻的的訪學經歷嗎?這些訪學經歷是否影響到了您的教學工作?

 哈佛訪學給我比較深刻的印象是,讓我見識到哈佛的本科生能有多優秀。他們既非常聰明,也非常努力。比如說我在哈佛上了一門模型論的課,任課老師Gerald Sacks是著名的邏輯學家。聽課的除了為數不多的本科生,還有研究生和周邊學校的一些學者,而這門課的助教是一名本科生,他會幫我們批改作業。我感覺到他對課程內容的理解已經非常深刻,數學成熟度非常高?;蛟S他未來不一定會做邏輯學,但其優秀是驚艷的。這讓我想到另一位哈佛的本科生,邏輯學的遞歸論方向曾經有一個Post問題,它在50年代就被解決了。解決它的就是哈佛的一個本科生,叫Richard Friedberg,后來似乎去做了物理學。

 還有一位令我印象深刻的學者,Charles Parsons。他是在數學哲學中非常有作為的學者。只是為人低調,不如普特南等同輩人耀眼。當時他已年近80,仍然會和我們一起上Peter Koellner的大基數課程,參加所有邏輯學討論班和會議。


 當然,并不是說美國學生人人都異常優秀自律,甚至在哈佛,同樣是模型論那門課,Gerald Sacks要靠“每周請大家吃一次披薩”的承諾才能維持上座率。另一門由年輕學者開的遞歸論課程,由于又難又比較枯燥,很多學生就逃課。有一次整個班級就我一個訪問學者,沒有別的學生。但只看這些人沒有意義,一個國家的先進程度,不管是學術上還是工業制造業上,它能達到的水平依靠的是那幫優秀的人。而在哈佛就能夠看到這些最優秀的人,無論是本科生還是退休教授,確實非常優秀。


 工作后,我又訪問過紐約城市大學,紐約城市大學跟哈佛就很不一樣。哈佛是個私立學校,紐約城市大學是一個公立學校,它的本科生源不如哈佛,但它的博士研究生一點不差,因為這里有非常好的導師,報考者會慕名而來。只是紐約城市大學的博士生比哈佛這種豪門學校的苦很多。紐約城市大學有一個graduate center,在曼哈頓中城,然后在紐約的邊遠郊區有很多的校區。那些研究生為了維持學業必須去那些校區給本科生上課。一次,我和那里的博士生朋友聊天,問他上什么課?他說,上數學分析、數理邏輯。我接著問,那些本科生能聽懂嗎?他說,有點不太行,平均每次課都要掛掉一大半。雖然我們也聽說美國很多學校有績點通脹的問題,但其實還是比較實事求是的。在美國,好像掛科不像在我們這里會給老師的壓力這么大。當然這也是由于他們的學分制確實是比我們寬松,對我們來說掛掉一門課會嚴重影響績點、畢業以及各項評選、競爭。對他們來說,只要修出足夠的學分就能畢業了,一次修不過,下次再修出來就行了。這樣子可能更容易實事求是地來評判,學生也知道他自己學的好不好。

 2009年以后的一段時間,我幾乎每年都會參加新加坡的暑期學校。他們會請全世界最優秀的邏輯學家來上個兩至三星期課程,還會資助世界范圍內非常優秀的學生,有美國、歐洲、以色列、越南、印度、伊朗等國家的學生,其中也有一批中國學生。這個暑期學??梢誀I造出一個非常純粹的邏輯學的學習環境,這在全世界都是值得稱道的。對許多中國學者、學生,包括我自己都給與了很大的幫助,對中國邏輯學的貢獻很大。復旦大學的數理邏輯暑期學校,一定程度上也是受此啟發。

 但另外一方面,新加坡在某種意義上算是全世界最重視教育的國家。據我所知,相對于社會平均收入水平來說,新加坡和香港的高校教師的收入水平可能是全世界比較高的了,這可能與華人重視教育的傳統有關。所以,隨著社會發展水平的提高,我覺得我們也可以往這個方向發展。


 訪學經歷對我個人教學的影響是很具體的。我早期很多課程的設計,比如遞歸論、數理邏輯、模型論,都參考了訪學時聽的一些課程。一些具體的教學方法,如課堂討論的組織、習題課的安排,參考了一些經典的課程,例如我曾旁聽的麻省理工Munkres的拓撲學。


二、治學心得

  3.從您自身出發,您認為邏輯學的研究者有哪些應該具備的品質?

 首先,在我看來,要能認死理。所謂認死理,就是說你無論看到什么觀點或論證,都能夠敏感地察覺其中的漏洞或者隱而未發的前提,不輕信結論。一方面,這是一種能力,也是我們開設《數理邏輯》課的培養目標之一。另一方面,這也是一種性格,或者說是為人處世的方式,不那么圓滑。包括我在內,很多人會在跟人對話的時候,希望對話進行得很融洽,為此會不自覺地迎合氛圍,迎合主導的意見,從而放棄對一些東西的堅持。這本身不是什么壞事,但需要警惕放棄自主思考成為一種習慣,久而久之就真的喪失了一種能力。

 另一點就是不放棄,能堅持。以我個人的經驗,邏輯學研究或者學習經常會遇到一些難題想不出來,這很正常。我們可以把這些問題放在腦海里,吃飯睡覺之余,有時間就想想這些問題,沒事的時候就想想這個問題??赡苓^一段時間,甚至是你看別的書或者是聽一些報告,在知識交叉的時候就會有一些靈感,甚至能夠想出答案。這個過程非常有成就感,對繼續前進是很重要的鼓勵。反之,如果打洞時碰到障礙就放棄,換個地方打洞,恐怕打不出一個深的洞。邏輯學尤其需要堅持,這是一門成熟的學科,每個方向都有前人耕耘過,想要再往前走都不輕松。


 第三點,有一個很好的身體。因為邏輯學的很多工作確實是非常耗費腦力和精力的,大腦是人體中一個能耗很高的器官,需要消耗大量的糖分,同時要供給氧氣。所以據我所知,其實一些知名的邏輯學家,比如說W. Hugh Woodin,他在他的家鄉亞利桑那時,每天爬兩個小時的山。還有著名邏輯學家Slaman,他在年輕的時候每天能夠高強度地工作十幾個小時。北大宋文堅教授、中科院楊東屏教授,年輕的時候都是體育好,身體棒,精力旺盛的。所以注意身體鍛煉是非常重要的。


 這些都是我的體會,我自己也未必能做好,與同學們共勉。

 4.您如何看待邏輯與個人生活的關系?

 首先,我比較欣賞那種能夠把學術和生活分開的學者,比如休謨。我經常會說,邏輯能夠處理的事情很少,生活中有大量的東西,無論是涉及到常識也好,人倫常情也好,不是邏輯能夠妥善處理的。如果強行要用邏輯來指導的話,恐怕很難生活。就像我剛才說的,做邏輯你要認死理,但是在生活中與人相處的時候,你不能每個事情都要一個個地按照邏輯分析得清清楚楚才能去做,這樣就沒法生活。所以生活是生活,邏輯是邏輯。

 5.我們了解到您有很多學術以外的興趣,這些興趣是否會對您的研究有所啟發?您如何看待興趣與學術的關系?

 我本人是一個興趣非常廣泛的人,邏輯當然也是我的很重要的興趣之一。除此以外我還有很多亂七八糟的興趣。我喜歡攝影,我還很喜歡生物,從生態、動植物到遺傳我都喜歡。我也喜歡天文、物理,我還喜歡經濟、金融,平時會關注這些方面的知識。當然除此以外我也喜歡玩游戲,喜歡滑雪,喜歡潛水,喜歡擺弄各種裝置。要說這些東西能夠幫助我的學術研究,我覺得是不太可能的,或許更應該追問怎么能平衡好這些興趣。學術興趣不光是個興趣,也是你從事的一項工作,是你的經濟來源,某種意義上說,也是你的社會責任。所以必須分給工作足夠多的時間,需要平衡興趣與工作的時間,這是一個方面。另一方面,對大部分人來說,一旦興趣變成了職業,興趣很快會被職業中那些繁雜的東西消耗掉,所以某種意義上說你又需要各種各樣的興趣來調劑。如果人生中只剩下專業,只剩下工作的話,我覺得很難保持它作為一個興趣。所以需要別的東西,需要生活,才能使這些東西對你來說還能夠是個興趣,你還能有熱情去進入工作。

 6.如何從數理邏輯去理解真,以及我們能夠在什么領域去談真的話題,能否簡要介紹您的思考?

 這個問題很專業。首先,我理解的邏輯,某種意義上就是經典邏輯,它研究的就是關于真的一些規律,但是關于真能夠說的那些規律其實并不多。那些規律,我們用一個有窮可以描述的公理系統就全說出來。而且某種意義上說,我們證明了我們的公理系統描述的就是這樣的規律,這就是所謂的哥德爾的完全性與可靠性定理。

 邏輯學,即經典邏輯能關于真所說的那些規律就是這么多。其他領域的研究也在追求各自的真理,無論是自然科學、社會科學、哲學在某種意義上都是在追求各自領域的真。在蘇格拉底看來,他與智者派的區別就在于是否追求真理。而邏輯學能夠說的,能夠刻畫的可以看作一種所謂普遍的真,不依賴于特殊領域的真,它其實是很小的一塊。但是另外一方面,任何一個領域的真,無論是物理也好,社會科學也好,哲學也好,無論哪個領域,他在談論真的時候都都必須符合這些規律。


 很多領域都會有某某哲學的說法。物理學哲學也好,生物學哲學也好,人工智能哲學也好。所謂某某哲學,往往是反思這門學科,反思它們的基礎、前提、研究方法是不是有問題。當然,也有所謂邏輯哲學。但就我個人而言,唯獨邏輯哲學很難真正的動搖我們對經典邏輯的認識。譬如,直覺主義會質疑某些邏輯的真,例如排中律,認為它們不是有效的。這樣明確質疑某些經典邏輯真的例子很少。但如果細看它的說法,直覺主義反對排中律并不是在所有的領域,而只是在必須要涉及到無窮的領域,甚至是涉及到無窮這樣的領域,在某些情況下,排中律還是有效的。所以,看似對邏輯的種種反思,或許只是在說某些特定語境下,我們沒法談論真假?;蛘吣切┦莻螁栴},或者受到現實世界中能力的限制,如測不準原理、有窮與無窮。反過來,我覺得,只要是在我們認為能夠談論真的語境中,我們的討論就必須符合這些經典邏輯。

三、近期關注

 我目前比較關心數學哲學問題。首先我們說數學哲學關心的主要問題是所謂的數學抽象對象是否存在,譬如自然數、實數,關于這些數學抽象對象或者數學結構的命題是否有客觀的真假。比如我們都會說的“5+7=12”總是真的,但是對于一些更抽象的問題,比如說有多少實數,有些人會覺得這個問題沒有客觀的真假,這些問題可能是人們想象出來的問題或者虛構出來的問題,因此可能沒有客觀的真假。

 在數學哲學中有兩派比較重要的立場。一種稱為數學的柏拉圖主義,或者稱作數學的實在論,這種觀點認為絕大多數的經典數學問題都有客觀的真假,并且存在客觀的數學對象,不管這些數學對象是自然數、集合也好,是結構也好,是概念也好,反正存在著不是人為造出來的那些數學的對象。關于這些數學對象的命題應該也有客觀的真假,這就是所謂的數學的柏拉圖主義。就像柏拉圖認為有獨立于人類的理念世界,有絕對的美的理念一樣,那些數學的抽象對象都是獨立于人的客觀的存在,這就為什么稱作柏拉圖主義。

 還有一種是數學的形式主義。即認為,數學家做的工作無非是在那些給定的公理系統下做證明,又可以看作是游戲,即按照一些具體的規則玩,或許能玩出些什么花樣來。很多時候是數學家會自稱為形式主義者,某種意義上他是為了回避關于他的研究那些問題到底有什么意義這些哲學上的爭論。他會說我就是個形式主義者,我不談這些事情,我就是在公理系統下做證明。但是有一件事情是不能回避的——那些游戲規則是不是一致的、和諧的?換句話說公理系統能不能推出矛盾來?一個矛盾的命題可以推出任何命題。如果他工作于其中的這個公理系統是矛盾的話,他的所有的數學工作都是平凡的。因為所有命題都可以從矛盾直接一步就推出來,那么他的所有的這些智力勞動就失去了意義。公理系統是否一致是無論如何都不能回避的一個問題。為了解決這個問題,希爾伯特提出一個所謂的希爾伯特計劃,試圖證明數學家所用的公理系統是一致的。但是問題在于,在哪里證明?希爾伯特說,我們要從“有窮數學”來證明。什么算是有窮數學?為什么有窮數學的證明,證明出來的東西是有意義的?是不是要承認有窮的數學不是完全虛構的,它證明出來的東西是實實在在的?所以沒有純粹的形式主義者,任何一個形式主義者,他至少要承認一部分的數學是有意義的,然后他會覺得另外一些更抽象的其他的數學可能是虛構的,純形式的。在這樣的背景下,我們說所有的數學哲學問題似乎就變成了一種你承認有多少數學是有意義的,是真實的,是客觀的,有哪些數學是虛構的,是自創的。這是一個大背景。

 現代數學哲學中,形式主義和柏拉圖主義爭論的背景是不完全性現象。上世紀六十年代,哥德爾和科恩證明連續統假設相對于數學家常用的公理系統ZFC是獨立的。對這個事實的解讀就分成了,形式主義,如科恩,和柏拉圖主義,如哥德爾??贫髡J為這個結果就是連續統假設問題的解決。因為,數學家的工作就是在ZFC下做證明,而他證明了連續統假設在ZFC下不能證實也不能證否。但是哥德爾作為一個柏拉圖主義者,會認為所有的數學命題要么為真,要么為假。所以證明連續統假設及其否定在公理系統下證明不了,只能說明公理系統還不足夠豐富,沒法把握所有的數學真理。所以數學家或者說數學哲學家接下來的工作就是要尋找新的數學公理來為我們判斷這些問題。

 關于不完全現象,哥德爾有一個著名的析取式:不完全現象意味著兩種可能。我們現在有三種東西,一種是一個具體的公理系統能夠把握的數學,你可以理解成有一個固定的計算機程序,或者是固定的圖靈機程序能夠把握的數學;還有一種是人有可能認識到的數學,或心靈有可能認識到的數學;還有一種是客觀的數學真理。所謂的析取式,就是說不完全現象意味著,或者一臺機器能把握的數學和人能夠認識的數學之間有差別;或者存在絕對不可認識的數學真理,是人永遠認識不到的。當然還有一種可能就是兩個情況都存在。這就是哥德爾式析取式。對此,就會有兩派,譬如圖靈,他會認為人腦就是一臺圖靈機,所以這兩個是一樣的,那就意味著一定有絕對不可判定的丟番圖方程,或者是人絕對不能認識的數學真理。雖然,就能夠造出像人一樣的機器而言,這種想法是樂觀的,但就存在絕對不可認識的數學真而言,它顯然是悲觀的。哥德爾把圖靈的想法稱作是一個“哲學上的錯誤”,他不認為心靈是一臺有窮的圖靈機,或者是說具體的一個人腦可能是有窮的,但是就它的發展的潛力來說,可以趨向于無窮。所以,我們仍然能夠期望,任何一個客觀的數學命題,總有一天人類的心靈是能夠認識的。我們可以把它稱作是樂觀的理性主義。

 我觀察到了一個現象,虔誠的柏拉圖主義者,往往也是一個樂觀的理性主義者。我個人的數學哲學立場是柏拉圖主義的同情者,而我最近想要論證的一件事情是,有沒有可能做一個悲觀的柏拉圖主義者?就是怎樣才能合理地持有一種悲觀的柏拉圖主義立場,即認為有客觀的數學真理,認為數學的世界有這些抽象的、獨立于人的概念,但是可能有一些是人類永遠無法把握的。一般來說,人們怎么去認論證一種柏拉圖主義立場,或者怎么論證存在獨立于人的一些客觀的世界?哥德爾說為什么數學世界存在,首先我們認為物理世界存在,而認為物理世界存在的那些理由,在數學世界中也成立,所以數學世界也存在。那么我們到底為什么會認為這些物理世界是客觀獨立于我們而存在的,而不是像“缸中之腦”這樣的圖景??赡軙幸恍┳C據,例如,非任意性,但我不是這方面的專家。物理世界的很多事情不是任意的,數學世界同樣也不是什么東西都能隨我們的意。有很多東西只能是這般那般的,這叫非任意性。還有一種是可理解性,雖然是非任意的,但是很多東西確實可以理解。物理世界中,我們能夠發現一些規律,然后還能依據這些規律做一些預測。人們甚至一度以為,我們能找到有窮的大一統理論,由此我們可以理論上基于現狀預測未來,推演過去。在數學中也會有同樣的現象,在集合論里面有所謂的大基數公理的層譜,它們可以看作是擴張集合論公理系統ZFC的經典擴張。大基數公理的層譜絕大部分是呈線性的,只有一條路,越往上越強。雖然ZFC以及ZFC的公理化擴張注定是不完全的,但是沿著唯一的大基數層譜似乎可以唯一地逼近對數學真理的完備認識。這是在集合論。然后在反推數學研究中也有經典的“Big Five”,就是有5個不同的二階算術公理系統。人們可以證明絕大多數的數學的定理都等價于這5個系統中的某一個,這就給人一種非常有規律且可理解的感覺。當然后來人們會發現其實并非如此。無論是在反推數學當中,還是在大基數領域里面,我們會發現越來越多非線性的情況,甚至十分雜亂。當然很多人會以此來論證,說我們似乎沒有一個很漂亮的階梯,讓我們一步步的逼近真理,以此來反對所謂的樂觀主義,同時也是來反對所謂的柏拉圖主義,即這個世界不是客觀的、可理解的、秩序的,而是任意的,人造出來的。 這里的問題是,支持柏拉圖主義的一些證據往往也能被解讀為支持樂觀主義,反對樂觀主義的解讀往往一下子就滑向了柏拉圖主義的反面。例如,比較新的集合論的多宇宙觀,雖然自稱是一種二階的實在論,但在實踐上很難與形式主義劃清界線。我們能夠找到哪些證據,或者是怎么來處理這些證據,使得我們既能保持一種柏拉圖主義的立場,同時能夠像我說的是一種不那么樂觀的柏拉圖主義立場,這其中有很多一些微妙的地方,是我現在正在考慮的問題。

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